Distribución de Poisson

 La Distribución de Poisson es un modelo de probabilidad discreta que describe la cantidad de veces que ocurre un evento en un intervalo fijo de tiempo o espacio, cuando los eventos suceden de manera independiente y con una tasa constante.

🔹 Ejemplo típico:

  • Cantidad de llamadas que recibe un centro de atención en 1 hora.
  • Número de clientes que llegan a un supermercado en 30 minutos.
  • Errores tipográficos en una página de un libro.

Características de la Distribución de Poisson

✔ Se aplica a eventos raros que ocurren de manera aleatoria.
✔ Los eventos son independientes, es decir, la ocurrencia de uno no afecta a los demás.
✔ Se define por un solo parámetro λ\lambda, que representa el número promedio de eventos en el intervalo.
✔ Solo puede tomar valores enteros X=0,1,2,...X = 0, 1, 2, ... (es una variable discreta).

📏 Fórmula de la Distribución de Poisson

La probabilidad de que ocurran XX eventos en un intervalo dado es:

P(X)=e−λλXX!P(X) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^X}{X!}

📌 Donde:

  • λ\lambda = número promedio de eventos en el intervalo.
  • X!X! = factorial de XX (ejemplo: 3!=3×2×1=63! = 3 \times 2 \times 1 = 6).
  • e≈2.718e \approx 2.718 = número de Euler.

Ejemplo Práctico: Llamadas Telefónicas

 Supongamos que un centro de atención recibe en promedio λ=5\lambda = 5 llamadas por minuto.

 ¿Cuál es la probabilidad de recibir exactamente 3 llamadas en un minuto?

Usamos la fórmula de Poisson:

P(3)=e−5533!P(3) = \frac{e^{-5} 5^3}{3!} P(3)=e−5×1256P(3) = \frac{e^{-5} \times 125}{6} P(3)≈0.0067×1256≈0.1404(14.04%)P(3) \approx \frac{0.0067 \times 125}{6} \approx 0.1404 \quad (14.04\%)

🔹 Interpretación: Hay un 14.04% de probabilidad de recibir exactamente 3 llamadas en un minuto.

 Propiedades Importantes

 1. Media y Varianza:
Tanto la media como la varianza de una distribución de Poisson son iguales a λ\lambda:

E(X)=λ,Var(X)=λE(X) = \lambda, \quad Var(X) = \lambda

 2. Si λ\lambda es grande, Poisson se parece a la distribución normal.
Cuando λ>30\lambda > 30, se puede aproximar con una distribución normal:

X∼N(λ,λ)X \sim N(\lambda, \sqrt{\lambda})

 3. Es útil para procesos de conteo donde los eventos ocurren de manera aleatoria y constante.

Comparación con Otras Distribuciones

DistribuciónVariableEjemplo
BinomialNúmero de éxitos en nn ensayosLanzar una moneda 10 veces y contar caras
PoissonNúmero de eventos en un intervalo fijoNúmero de clientes en una tienda por hora
NormalVariable continuaAlturas de personas, calificaciones de exámenes

 Aplicaciones Reales

✔ Call centers: Número de llamadas por minuto.
✔ Hospitales: Pacientes que llegan a emergencias por hora.
✔ Seguros: Número de accidentes de autos en un mes.
✔ Producción industrial: Número de defectos en un lote de productos.

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