Reglas de Probabilidad

 Las reglas de la probabilidad nos permiten calcular la posibilidad de que ocurran ciertos eventos en situaciones de incertidumbre. Estas reglas son fundamentales para el análisis de datos en estadísticas, ciencias, finanzas, inteligencia artificial, entre otros campos.

1. Regla del Rango de Probabilidad (0 ≤ P(A) ≤ 1)

📊 Ejemplo:
Imagina que sacamos una carta de una baraja de 52 cartas. La probabilidad de sacar una carta es 1, y la probabilidad de sacar una carta que no existe (como un "8 de dragón") es 0.

✅ Ejemplo en números:

• Sacar cualquier carta válida: $P(A) = 1$ (evento seguro).
• Sacar el "8 de dragón": $P(A) = 0$ (evento imposible).
• Sacar un As: $P(A) = \frac{4}{52} = 0.077$ (7.7% de probabilidad).

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📌 2. Regla de la Suma de Probabilidades (Eventos Mutuamente Excluyentes)

📊 Ejemplo:
Un dado tiene 6 caras. Si queremos la probabilidad de obtener un 2 o un 5, sumamos las probabilidades individuales porque no pueden ocurrir al mismo tiempo.

✅ Cálculo:

$$P(2) = \frac{1}{6}, \quad P(5) = \frac{1}{6}$$ $$P(2 \cup 5) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = 0.333 \quad (33.3\%)$$

🔹 Ejemplo con eventos NO excluyentes:
Si en una baraja queremos la probabilidad de sacar un corazón o un As, hay un As de Corazones que se cuenta dos veces.

$$P(Corazón) = \frac{13}{52}, \quad P(As) = \frac{4}{52}, \quad P(As \cap Corazón) = \frac{1}{52}$$ $$P(Corazón \cup As) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = 30.8\%$$

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📌 3. Regla de la Multiplicación (Eventos Independientes y Dependientes)

📊 Ejemplo (Eventos Independientes):
Si lanzamos una moneda y un dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga cara y un 6?

✅ Cálculo:

$$P(Cara) = \frac{1}{2}, \quad P(6) = \frac{1}{6}$$ $$P(Cara \cap 6) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12} = 8.3\%$$

📊 Ejemplo (Eventos Dependientes):
Si en una bolsa hay 5 canicas rojas y 5 azules, ¿cuál es la probabilidad de sacar dos rojas sin devolver la primera?

✅ Cálculo:

$$P(R_1) = \frac{5}{10}, \quad P(R_2|R_1) = \frac{4}{9}$$ $$P(R_1 \cap R_2) = \frac{5}{10} \times \frac{4}{9} = \frac{20}{90} = 22.2\%$$

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📌 4. Regla de la Probabilidad Total

📊 Ejemplo:
En una empresa, el 60% de los empleados son hombres y el 40% son mujeres. Se sabe que el 5% de los hombres y el 10% de las mujeres llegan tarde.

✅ ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado seleccionado al azar llegue tarde?

$$P(Tarde) = P(Tarde | Hombre) P(Hombre) + P(Tarde | Mujer) P(Mujer)$$ $$P(Tarde) = (0.05 \times 0.60) + (0.10 \times 0.40)$$ $$P(Tarde) = 0.03 + 0.04 = 0.07 \quad (7\%)$$

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📌 5. Probabilidad Condicional (P(A|B))

📊 Ejemplo:
En una fábrica, el 30% de los trabajadores tienen estudios de posgrado y el 40% tienen más de 10 años de experiencia. Se sabe que el 10% tiene ambas características.

✅ Si elegimos a alguien con más de 10 años de experiencia, ¿cuál es la probabilidad de que tenga posgrado?

$$P(Posgrado | Experiencia) = \frac{P(Posgrado \cap Experiencia)}{P(Experiencia)}$$ $$P(Posgrado | Experiencia) = \frac{0.10}{0.40} = 0.25 \quad (25\%)$$

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📌 6. Teorema de Bayes 🧠 (Actualizar Probabilidades)

📊 Ejemplo:
Una enfermedad afecta al 1% de la población. La prueba médica acierta en el 90% de los casos positivos, pero da 5% de falsos positivos.

✅ Si alguien dio positivo en la prueba, ¿qué probabilidad hay de que realmente tenga la enfermedad?

📌 Aplicamos Bayes:

$$P(E|+) = \frac{P(+|E) P(E)}{P(+)}, \quad \text{donde} \quad P(+) = P(+|E) P(E) + P(+|\neg E) P(\neg E)$$ $$P(E|+) = \frac{(0.90 \times 0.01)}{(0.90 \times 0.01 + 0.05 \times 0.99)}$$ $$P(E|+) = \frac{0.009}{0.009 + 0.0495} = \frac{0.009}{0.0585} \approx 0.154 \quad (15.4\%)$$

🔹 Conclusión: Aunque la prueba dio positivo, la probabilidad real de estar enfermo es solo 15.4%, porque los falsos positivos son comunes.