Conceptos Principales de Probabilidad

 

La probabilidad es una rama de la estadística que estudia la posibilidad de que ocurra un evento. Se usa para predecir resultados en situaciones de incertidumbre, como juegos de azar, finanzas, predicciones meteorológicas y más.

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🔹 1. Experimento Aleatorio 🎲

Un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado no se puede predecir con certeza antes de que ocurra.

✅ Ejemplo:

• Lanzar una moneda: no sabemos si será cara o cruz.
• Tirar un dado: el resultado puede ser 1, 2, 3, 4, 5 o 6.

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🔹 2. Espacio Muestral ($S$) 📂

El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

✅ Ejemplo:

• Para un dado: $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
• Para una moneda: $S = \{\text{cara, cruz}\}$.

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🔹 3. Suceso o Evento ($A$) 📍

Un evento es un subconjunto del espacio muestral, es decir, un resultado o un grupo de resultados posibles.

✅ Ejemplo:

• Sacar un número par en un dado: $A = \{2, 4, 6\}$.
• Obtener cara al lanzar una moneda: $A = \{\text{cara}\}$.

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🔹 4. Probabilidad de un Evento ($P(A)$) 🎯

La probabilidad de un evento es un número entre 0 y 1 que indica la posibilidad de que ocurra.

📌 Fórmula de la probabilidad clásica (Laplace):

$$P(A) = \frac{\text{Casos Favorables}}{\text{Casos Totales}}$$

✅ Ejemplo:

• Probabilidad de sacar un número impar en un dado:

  P(A) = \frac{3}{6} = 0.5 \text{ (50%)}

• Probabilidad de sacar un número 6 en un dado:

  P(A) = \frac{1}{6} \approx 0.1667 \text{ (16.67%)}

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🔹 5. Tipos de Probabilidad 📊

📌 1. Probabilidad Clásica (Laplace):
Se usa cuando todos los resultados son igualmente probables.
✅ Ejemplo: Probabilidad de sacar un As en un mazo de 52 cartas:

$$P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$$

📌 2. Probabilidad Frecuencial:
Se basa en la cantidad de veces que ocurre un evento en múltiples repeticiones del experimento.
✅ Ejemplo: Si en 1000 lanzamientos de un dado, el número 3 aparece 180 veces:

P(3) = \frac{180}{1000} = 0.18 \text{ (18%)}

📌 3. Probabilidad Subjetiva:
Se basa en la intuición o experiencia de una persona.
✅ Ejemplo: La probabilidad de que un equipo de fútbol gane un partido según la opinión de un analista.

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🔹 6. Regla de la Suma de Probabilidades ➕

Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes (no pueden ocurrir al mismo tiempo):

📌 Fórmula:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

✅ Ejemplo: Probabilidad de sacar un 2 o un 5 en un dado:

$$P(2) = \frac{1}{6}, \quad P(5) = \frac{1}{6}$$ $$P(2 \cup 5) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} = 33.33\%$$

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🔹 7. Regla de la Multiplicación de Probabilidades ✖

Si dos eventos A y B son independientes (uno no afecta al otro), la probabilidad de que ambos ocurran es:

📌 Fórmula:

$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$

✅ Ejemplo: Probabilidad de sacar dos 6 seguidos al tirar un dado:

$$P(6) = \frac{1}{6}, \quad P(6) = \frac{1}{6}$$ $$P(6 \cap 6) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \approx 2.78\%$$

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🔹 8. Probabilidad Condicional ($P(A|B)$) 🔄

Es la probabilidad de que ocurra el evento A, dado que ya ocurrió B.

📌 Fórmula:

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

✅ Ejemplo:
En una bolsa con 10 canicas (4 rojas y 6 azules), si sacamos una azul y no la devolvemos, ¿cuál es la probabilidad de sacar otra azul?

Antes:

$$P(A) = \frac{6}{10} = 0.6$$

Después de sacar una azul:

$$P(B|A) = \frac{5}{9} = 0.555$$

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🔹 9. Teorema de Bayes 🧠

Nos permite actualizar la probabilidad de un evento con base en nueva información.

📌 Fórmula:

$$P(A|B) = \frac{P(B|A) P(A)}{P(B)}$$

✅ Ejemplo: Se usa para evaluar pruebas médicas, fraudes bancarios, detección de spam en correos electrónicos, etc.